Треугольник Паскаля
Варианты изображения арифметического треугольника
Арифметический треугольник был известен в Китае в начале XI века благодаря работе китайского математика Цзя Сианя (1010–1070)
А в 1303 году треугольник представлен в качестве иллюстрации в книге китайского математика Ян Хуэй
Изображение треугольника можно увидеть на обложке учебника арифметики известного астронома Петра Апиана из Ингольтштадского университета в начале 16 века
В Италии Паскалевский треугольник зовут другим именем, в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тарталья (1500-1577)
B книге «Математический калейдоскоп» был представлен треугольник Паскаля, предложенный Гуго Штейнгаузом. Так выглядит описание его треугольника: «Предпoлoжим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, сooтветственно, розовым».
Свойства треугольника Паскаля.
⦁ Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
⦁ Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно
⦁ Первая диагональ - это натуральные числа, идущие по порядку.
⦁ Вторая диагональ - это «треугольные» числа, которые показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальной расстановки шаров в бильярде.
⦁ Третья диагональ - это «пирамидальные» числа (один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее).
⦁ Четвертая диагональ – это «фигурные числа» в четырехмерном измерении. Это можно представить только в виртуальном мире. Один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти…
⦁ Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом
⦁ В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.
⦁ Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ...
⦁ Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.
⦁ Если номер строки – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.
⦁ Каждое число, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.
⦁ Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского .
⦁ В строке с номером n:
⦁ первое и последнее числа равны 1.
⦁ второе и предпоследнее числа равны n.
⦁ третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк.
⦁ четвёртое число является тетраэдрическим.
⦁ m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту.
⦁ сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи.
⦁ Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
⦁ Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2 в n-й степени.
⦁ Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n
является простым числом.
⦁ Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида
3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
⦁ Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из
вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.