Треугольник Cерпинского
Вклад В. Серпинского в развитие математической науки
Ва́цлав Франци́ск Серпи́нский — польский математик, известен трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор 724 статей и 50 книг.
Наиболее известные труды:
“Пифагоровы треугольники”, 1959 год
В книге рассматриваются различные виды пифагоровых треугольников: с одинаковой площадью, две стороны выражаются последовательными целыми числами, у которых по крайней мере одна сторона является квадратом.
“О решении уравнений в целых числах”, 1961 год
В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах. Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения, решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел. Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел. Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20—30 лет.
Книга может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка. Разбираются уравнения вида x2 + x - 2y2=0 ; x2 + х + 1=Зу2 x2 — Dy2=1 и другие.
“ Что мы знаем и чего не знаем о простых числах”, 1963 год
В книге собраны наиболее важные, интересные и доступные широкому кругу читателей результаты, относящиеся к теории простых чисел. Доказательства теорем даются лишь в тех случаях, когда они элементарны и не очень утомительны. В основном книга имеет информационный характер. Она может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.
“О теории множеств”, 1966 год
В книге содержится достаточно полное изложение основных понятий и результатов теории множеств, а именно повествуется о множествах и их свойствах, о таком понятии как конгруэнтность множеств и конгруэнтности множеств при конечном разбиении.
Сборник «250 задач по элементарной теории чисел»,1968 год
Задачи и краткие решения данного сборника формируют математическое мышление, создают известные предпосылки для самостоятельной работы в элементарной теории чисел и способствуют приобретению таких навыков, которые будут полезны в любой отрасли математики.
Математические понятия (термины), связанные с именем
Вацлава Серпинского
⦁ Числа Серпинского
В теории чисел нечётное натуральное число k является числом Серпинского, если для любого натурального числа n число k2^n+1 является составным.
Последовательность известных на данный момент чисел Серпинского начинается так:
78 557, 271 129, 271 577, 322 523, 327 739, 482 719, 575 041, 603 713, 903 983, 934 909, 965 431, 1 259 779, 1 290 677, 1 518 781, 1 624 097, 1 639 459, 1 777 613, 2 131 043, 2 131 099,
2 191 531, 2 510 177, 2 541 601, 2 576 089, 2 931 767, 2 931 991, 3 083 723, 3 098 059,
3 555 593, 3 608 251, …
⦁ Треугольник Серпинского
Фрактал (множество, обладающее свойством самоподобия), один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году.
Построение: Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
⦁ Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского)
Фрактал, идентичный треугольнику Серпинского, но представляющий собой квадрат.
Построение: Квадрат делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность, пересечение членов которой есть ковер Серпинского.
⦁ Кривая Серпинского
Рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским. Кривая в пределе при стремящимся к бесконечности полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского, является примером заполняющих пространство кривых.
⦁ Игра Серпинского, или игра хаос
Создание фигур по принципу построения треугольника Серпинского. Фрактал создается путем итеративного создания последовательности точек, начиная с начальной случайной точки, в которой каждая точка в последовательности представляет собой заданную долю расстояния между предыдущей точкой и одной из вершин многоугольника; вершина выбирается случайным образом на каждой итерации. Повторение этого итеративного процесса большое количество раз, выбор вершины случайным образом на каждой итерации и отбрасывание первых нескольких точек в последовательности часто (но не всегда) приводит к образованию фрактальной формы.
⦁ Константа Серпинского
Является математической константой, равной 2, 584981759579253…
⦁ Пространство Серпинского
Представляет собой конечное топологическое пространство (у которого есть только конечное число точек) с двумя точками, только один из которых является закрытыми . Это наименьший пример топологического пространства, которое не является ни тривиальным, ни дискретным .
Примеры реальных объектов, в орнаментах которых можно заметить фрактал "треугольник Серпинского "
«Салфетка Серпинского», Брекенридж (Миннесота)
Дворец мира и согласия (Астана)
Париж, Лувр
Номер-люкс владельца отеля DrakeDevonshire в графстве Принц Эдвард
Великий Египетский музей в Гизе
Практическая Работа
Этапы выполнения:
1)Построение треугольника Паскаля в EXCEL'е
(по принципу сложения соседних ячеек)
2)Выделение ячеек которое кратны 5 фиолетовым цветом
(=ОСТАТ((A1:Z500):5))
3)Рассмотрение фрактала на большем масштабе и выявления закономерностей
Закономерности:
⦁ Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
⦁ Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно
⦁ Первая диагональ - это натуральные числа, идущие по порядку.
⦁ Вторая диагональ - это «треугольные» числа, которые показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальной расстановки шаров в бильярде.
⦁ Четвертая диагональ – это «фигурные числа» в четырехмерном измерении. Это можно представить только в виртуальном мире. Один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти…
⦁ Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом
⦁ В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.
⦁ Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ...
⦁ Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.
⦁ В строке с номером n:
⦁ первое и последнее числа равны 1.
⦁ второе и предпоследнее числа равны n.
⦁ третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк.
⦁ четвёртое число является тетраэдрическим.
⦁ m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту.
⦁ сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи.
⦁ Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
⦁ Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2 в n-й степени.
⦁ Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n
является простым числом.
⦁ Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида
3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
⦁ Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из
вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.